Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为________．

Answer 1

3
分析：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，=+4a+|PF₂|，使用基本不等式求得当取得最小值时，|PF₁|和|PF₂|的值，△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得 的最大值．
解答：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴==+4a+|PF₂|≥4a+2=8a．
当且仅当 =|PF₂|，即|PF₂|=2a 时，等号成立，此时，|PF₁|=4a．
△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得 4c²=16a²+4a²-16a² cos∠F₁ PF₂=20a²-16a² cos∠F₁ PF₂
≤36a²，故 c²≤9 a²，∴≤3，
故答案为：3．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，余弦定理和基本不等式的应用，得到 c²≤9 a²，
是解题的关键．