Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）若直线l的斜率为

2

2

，求证：

FA

•

FB

=0；
（2）设直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值．

Answer 1

分析：（1）由点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，写出向量

FA

，

FB

的坐标，展开数量积后代入根与系数关系得答案；
（2）设直线l的方程为l：x=ky-

p

2

，和抛物线方程联立后话诶关于y的一元二次方程，写出根与系数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案．

解答：（1）证明：由题意可得l：y=

2

2

(x+

p

2

)，
联立

y= 2 2 (x+ p 2 ) y2=2px

，得x2-3px+

p2

4

=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=3p，x1x2=

p2

4

．
则

FA

=(x1-

p

2

，y1)，

FB

=(x2-

p

2

，y2)．
∴

FA

•

FB

=(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)+y1y2=

3

2

x1x2-

p

4

(x1+x2)+

3

8

p2=0；
（2）设直线l：x=ky-

p

2

，与抛物线联立得y²-2pky+p²=0．
∴y1+y2=2p，y1y2=p2．
则k1+k2=

y1

x1- p 2

+

y2

x2- p 2

=

y1

ky1-p

+

y2

ky2-p

=

2ky1y2-p(y1+y2)

(ky1-p)(ky2-p)

=

2kp2-p•2pk

(ky1-p)(ky2-p)

=0．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常利用一元二次方程的根与系数关系，采用设而不求的方法解决，此题属中高档题．