Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）
（1）若a=1，求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的极大值为3．若存在，求出a值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入，对函数求导，求得切线斜率及切点的坐标，从而可求切线方程；
（2）先求导函数，研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断即可．

解答：解：由题意知：f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x=[x²+（a+2）x+2a]e^x…（2分）
（1）当a=1时，f′（x）=[x²+3x+2]e^x，则：f′（0）=2，f（0）=1…（4分）
所以函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=2x+1…（6分）
（2）令：f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x=0，则：x²+（a+2）x+2a=0，所以：x=-2或x=-a…（7分）
1）当a=2时，f′（x）=（x+2）²e^x＞0，则函数在x∈R上单调递增，故无极值．…（8分）
2）当a＜2时

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大		极小

所以：f（-2）=3，则a=4-3e²…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查由函数的导数的符号变化研究函数的单调区间与极值，对于存在性问题常是先假设存在，再由假设推导，看是否产生矛盾．