【题目】已知函数,函数的图象在点处的切线方程为.
(1)讨论的导函数的零点的个数;
(2)若,且在上的最小值为,证明:当时,.
【答案】(1)当时,存在唯一零点,当时,无零点.(2)证明见解析
【解析】
(1)由题意得的定义域为,,然后分和两种情况讨论即可
(2)先由条件求出,然后要证,即证,令,然后利用导数得出即可
(1)由题意,得的定义域为,.
显然当时,恒成立,无零点.
当时,取,
则,即单调递增,
又,,
所以导函数存在唯一零点.
故当时,存在唯一零点,当时,无零点.
(2)由(1)知,当时,单调递增,所以,所以.
因为,函数的图象在点处的切线方程为,
所以,所以.
又,所以,所以.
根据题意,要证,即证,只需证.
令,则.
令,则,
所以在上单调递增.
又,,
所以有唯一的零点.
当时,,即,单调递减,
当时,,即,单调递增,
所以.
又因为,所以,所以,
故.
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【题目】直线l:x﹣ty+1=0(t>0)和抛物线C:y2=4x相交于不同两点A、B,设AB的中点为M,抛物线C的焦点为F,以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N,且满足|MN||NF|,则直线l的方程为_____.
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【题目】从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】某公司准备上市一款新型轿车零配件,上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量(单位:件)的数据如下表:
日销售量 | 40 | 60 | 80 | 100 |
频数 | 9 | 12 | 6 | 3 |
(1)若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件,求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率;
(2)试销结束后,这款零件正式上市,每个定价仍为1000元,但生产公司对该款零件不零售,只提供零件的整箱批发,大箱每箱有60件,批发价为550元/件;小箱每箱有45件,批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱,根据公司规定,当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量(单位:件)的数据如下表:
日销售量 | 50 | 70 | 90 | 110 |
频数 | 5 | 15 | 8 | 2 |
(ⅰ)设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱,这30天这款零件的总利润;
(ⅱ)以总利润作为决策依据,该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱?
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【题目】在平面直角坐标系中,将曲线:上的点按坐标变换,得到曲线,为与轴负半轴的交点,经过点且倾斜角为的直线与曲线的另一个交点为,与曲线的交点分别为,(点在第二象限).
(Ⅰ)写出曲线的普通方程及直线的参数方程;
(Ⅱ)求的值.
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【题目】某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果,选50名患者服药一段时间后,记录了这些患者的生理指标和的数据,并统计得到如下的列联表(不完整):
合计 | |||
12 | 36 | ||
7 | |||
合计 |
其中在生理指标的人中,设组为生理指标的人,组为生理指标的人,他们服用这种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
组:10,11,12,13,14,15,16
组:12,13,15,16,17,14,25
(Ⅰ)填写上表,并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标和有关系;
(Ⅱ)从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.
附:,其中.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知为坐标原点,,,,若.
⑴ 求函数的最小正周期和单调递增区间;
⑵ 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求函数在上的最小值.
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