Question

如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若，求x₂；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂．若S₁=2S₂，求角α的值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x₁=cosα，．
因为 ，，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）解：依题意得 y₁=sinα，． 所以 ，
．
依题意S₁=2S₂ 得 ，即sin2α=-2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α-cos2α，
整理得 cos2α=0．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x₁=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．
（Ⅱ）依题意得 y₁=sinα，，分别求得S₁ 和S₂ 的解析式，再由S₁=2S₂ 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．