Question

已知a，b，c都是正实数，且满足log₄（16a+b）=log2

ab

，则使4a+b≥c恒成立的c的取值范围是

（0，36]

．

Answer 1

分析：由log₄（16a+b）=log2

ab

，知16a+b=ab，a=

b

b-16

．所以4a+b=

4b

b-16

+b=4+

64

b-16

+（b-16）+16≥20+2

64 b-16 •(b-16)

=36．所以，使4a+b≥c恒成立，c只要小于4a+b的最小值即可．

解答：解：∵log₄（16a+b）=log2

ab

，
∴16a+b=ab，a=

b

b-16

．
∴4a+b=

4b

b-16

+b
=4+

64

b-16

+b
=4+

64

b-16

+（b-16）+16
≥20+2

64 b-16 •(b-16)

=36，
当且仅当

64

b-16

=b-16，
即b=24时成立．
所以，使4a+b≥c恒成立，
c只要小于4a+b的最小值即可，又由c为正实数，
则c∈（0，36]．
故答案为：（0，36]．

点评：本题考查对数的运算性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的灵活运用．易错点是忽视均值定理成立的条件．