Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-

2

3

处都取得极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意x∈[-1，1]，f（x）＜c²，恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，得出方程组，解出a，b即可；
（2）作出x，f′（x），f（x）的变化表格，得出x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c；
（3）由题意得只需c²＞2+c，解不等式即可．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b
由题意可知

f′(- 2 3 )=0 f′(1)=0

，解得

a=- 1 2 b=-2

；
（2）由（1）知f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），

x	(-1，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，2）
f'（x）	+	极大值	-	极小值	+
f（x）	↑	c+ 22 27	↓	c- 3 2	↑

∵f（2）=2+c，
∴x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c；
（3）∵对于任意的x∈[-1，1]，f（x）＜c²恒成立，
∴只需c²＞2+c，
∴c＜-1或c＞2．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，本题属于中档题．