Question

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD．

Answer 1

证明：（1）连接OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，
从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，
所以l是⊙O的切线．

（2）连接AP，
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠PBD=90°，
∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，
即PB平分∠ABD．