Question

（2009•临沂一模）设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时是单调函数，则满足f(2x)=f(

x+1

x+4

)的所有x之和为（　　）

• A．-

  9

  2

• B．-

  7

  2

• C．-8
• D．8

Answer 1

分析：f（x）为偶函数推出f（-x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数，推出f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根与系数的关系进行求解；

解答：解：∵f（x）为偶函数，
∴（2x）=f（-2x）
∵当x＞0时f（x）是单调函数，
又满足f(2x)=f(

x+1

x+4

)，
∴2x=

x+1

x+4

或-2x=

x+1

x+4

，
可得，2x²+7x-1=0或2x²+9x+1=0，两个方程都有解．
∴x₁+x₂=-

7

2

或x₃+x₄=-

9

2

，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-

7

2

-

9

2

=-8，
故选C．

点评：本题主要函数奇偶性和单调性的性质，考查了函数的单调性和奇偶性与方程根的联系，属于函数性质的综合应用．