Question

（2013•德州一模）已知F₁，F₂分别为椭圆C₁：

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的上下焦点，其F₁是抛物线C₂：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₂|=

3

5

．
（1）试求椭圆C₁的方程；
（2）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足

OA

+

OB

=λ

OP

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；
（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=

2t

1-t2

，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足

OA

+

OB

=λ

OP

，可得到λ²的表达式，进而求出实数λ的取值范围

解答：解：（1）令M为（x₀，y₀），因为M在抛物线C₂上，故x₀²=4y₀，①
又|MF₁|=

5

3

，则y₀+1=

5

3

，②
由①②解得x₀=-

2 6

3

，y₀=

2

3

椭圆C₁的两个焦点为F₁（0，1），F₂（0，-1），
点M在椭圆上，由椭圆定义，得
2a=|MF₁|+|MF₂|=

(- 2 6 3 -0)2+( 2 3 -1)2

=4
∴a=2，又c=1，
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C₁的方程为

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）∵直线l：y=k（x+t）与圆x²+（y+1）²=1相切
∴

|kt+1|

1+k2

=1，即k=

2t

1-t2

（t≠0）
把y=k（x+t）代入

y2

4

+

x2

3

=1并整理得：
（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有
x₁+x₂=-

6k2t

4+3k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2kt=

8k t

4+3k2

∵λ

OP

=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴P（

-6k2t

(4+3k2)λ

，

8k t

(4+3k2)λ

）
又∵点P在椭圆上
∴

12k4t2

(4+3k2)2λ2

+

16k2 t2

(4+3k2)2λ2

=1
∴λ²=

4k2 t2

4+3k2

=

4

( 1 t2 )2+( 1 t2 ) +1

（t≠0）
∵t²＞0，∴(

1

t2

)2+(

1

t2

) +1＞1
∴0＜λ²＜4
∴λ的取值范围为（-2，0）∪（0，2）

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用．