Question

求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　已知a、b、c、d四条直线不共点但是两两相交，求证a、b、c、d共面． 　　a、b、c、d四条直线或者有三条共点或无三条共点，分两种情形证． 　　解答　　(1)若a、b、c三线共点P，但点P直线d．如图∴直线d和其外一点P可以确定一个平面α 　　又a∩d＝C 　　∴点C∈a且点P∈a 　　∴直线a平面α 　　同理可证：直线b上有两点B、P在平面α上， 　　∴b面α 　　∴c面α∴a、b、c、d四线共面． 　　(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点，如图所示． 　　∵a∩b＝点Q∴a与b可以确定一个平面β 　　又∵c∩d＝E∴E∈a，a平面β∴E∈β 　　同理c∩面β＝F∴F∈b，b平面β∴F∈β 　　∴直线c上有两点E、F在β上∴c平面β 　　同理可证d平面β 　　故a、b、c、d四条线共面β 　　得(1)、(2)可知：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内．