Question

（本小题满分15分）已知, 是平面上一动点, 到直线上的射影为点，且满足

(1) 求点的轨迹的方程;

(2) 过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标。

 

Answer 1

【答案】

解： (1)y²=4x,

 (2)直线AB经过(5,-6)这个定点.

【解析】本试题主要是考查了轨迹方程的求解，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。

（1）因为, 是平面上一动点, 到直线上的射影为点，且满足设出点的坐标，借助于向量关系式得到其轨迹的方程;

(2) 根据过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时，

因此由题意可知直线AB的斜率存在且不为零, 可设AB的方程为,

并设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).联立: 

借助于韦达定理，和直线斜率的关系，可以证明直线恒过定点，并求出该定点坐标。

解： (1)设曲线C上任意一点P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),从而

,,

化简得y²=4x, 即为所求的P点的轨迹C的对应的方程. ………………6分

 (2) 解法一：由题意可知直线AB的斜率存在且不为零, 可设AB的方程为,

并设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).联立: 

代入整理得   从而有y₁＋y₂=4m ①, ②……………8分

又 ,

又y₁²=4x₁,y₂²=4x₂, ∴ ………………11分

Þ ,

展开即得y₁y₂+6(y₁+y₂)+20=0

将①②代入得,

得, AB: x =my+6m+5, ………………14分

故直线AB经过(5,-6)这个定点.. ………………15分

解法二：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

设MA: y=k₁(x-1),与y²=4x联立，得k₁y²-4y-4k₁+8=0，则①，

同理②

AB:即③

由①②:y₁+y₂=

代入③，整理得恒成立

则 故直线AB经过(5,-6)这个定点.. ………………15分