Question

（2012•湛江二模）对一个定义在R上的函数f（x）有以下四种说法：
①?x∈R，f（1-x）=f（1+x）；
②在区间（-∞，0）上单调递减；
③对任意x₁＞x₂＞0满足f（x₁）＞f（x₂）；
④是奇函数．
则以上说法中能同时成立的最多有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：分析①?x∈R，f（1-x）=f（1+x），关于x=1对称；对于②f（x）在区间（-∞，0）上单调递减；①②可以在一起；③表示其为增函数，④为奇函数，故③④可以放在一起；

解答：解：①?x∈R，f（1-x）=f（1+x），对称轴x=

1-x+1+x

2

=1，若其在（-∞，0）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递减，所以①不能与③④一起成立，
③对任意x₁＞x₂＞0满足f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（0，+∞）上单调递增，
④f（x）为奇函数，不能与①一起成立，可以与③一起成立，
∴①②可以一起成立，③④可以一起成立，
故选B．

点评：此题主要考查函数奇偶性的定义及其性质，利用函数的对称轴和单调性进行判断，此题是一道好题；