Question

3．已知二次函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x），且f（x）=0的两根平方和为10，图象过点（0，3）．
（1）求f（5）的值；
（2）若函数f（x）在定义域[a，+∞）上f（x）≥8恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法设出函数的解析式，再代值计算即可，
（2）根据二次函数的性质，以及函数f（x）在定义域[a，+∞）上f（x）≥8恒成立，可得a≥2，且a²-4a+3≥8，解得即可．

解答 解∵二次函数f（x）的图象过点（0，3），
∴设f（x）=ax²+bx+3，
：∵f（x+2）=f（2-x），
∴-$\frac{b}{2a}$=2
又故b=-4a；
故f（x）=ax²-4ax+3，
令ax²-4ax+3=0，
则△=（-4a）²-12a≥0，
x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{3}{a}$；
故（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16-2×$\frac{3}{a}$=10；
解得a=1；
∴f（x）=x²-4x+3，
∴f（5）=25-20-3=2，
（2）由（1）可知，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴函数的最小值为-1，
∵f（x）在（-∞，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数，函数f（x）在定义域[a，+∞）上f（x）≥8，
∴a≥2
∴a²-4a+3≥8，
即（a-5）（a+1）≥0，
解得a≥5，
故实数a的取值范围为[5，+∞）

点评 本题考查了函数的解析式的求法，利用了待定系数法，以及二次函数的性质，属于中档题．