Question

在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点（，0）的距离比它到y轴的距离大．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个动点，点B，C在y轴上，若△QBC为圆（x-1）²+y²=1的外切三角形，求△QBC面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出Q，B，C的坐标，利用直线QB是圆的切线，进而可表示出△QBC面积，换元，利用基本不等式，即可求△QBC面积的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题知点P到的距离与它到直线的距离相等，
所以点P的轨迹是抛物线，方程为y²=2x…（4分）
（Ⅱ）设Q（x，y），B（0，b），C（0，c），则即（y-b）x-xy+xb=0
由直线QB是圆的切线知，即
同理∵所以b，c是方程的两根
∴…（8分）
∴
又，∴
由题知x＞2，∴
令t=x-2，则=≥4+4=8，当t=2即x=4时，取“=”
∴△QBC面积的最小值为8…（12分）
点评：本题考查抛物线的定义与标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．