Question

（1）若tanα=

2

，求值①

cosα+sinα

cosα-sinα

；②2sin²α-sinαcosα+cos²α．
（2）求值

1-sin6x-cos6x

1-sin4x-cos4x

．

Answer 1

分析：（1）①分子分母同时除以cosα，把问题转换为关于tanα的化简求值，把tanα的值代入即可求得答案．
②先根据同脚三角函数基本关系可知cos2α=

1

1+tan2α

求得cos²α的值，进而把原式整理成cos²α（2tan²α-tanα+1）把tanα的值代入即可．
（2）先分别立方和公式和平方和公式，对分子分母化简整理求得）sin⁶x+cos⁶x=1-3sin²x•cos²x．sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²x•cos²x．最后约分求得答案．

解答：解：（1）①原式=

1+ sinα cosα

1- sinα cosα

=

1+ 2

1- 2

=-3-2

2

．
②∵cos2α=

1

1+tan2α

=

1

3

，
∴原式=cos2α(2tan2α-tanα+1)=

2 +1

3

．
（2）∵sin⁶x+cos⁶x=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²x•cos²x+cos⁴x）
=（sin²x+cos²x）²-3sin²x•cos²x=1-3sin²x•cos²x．
又∵sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²x•cos²x=1-2sin²x•cos²x．
∴原式=

1-sin6x-cos6x

1-sin4x-cos4x

=

3

2

．

点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．应熟练记忆三角函数中平方的关系，倒数的关系和商数关系等．