Question

设函数f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上为单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：∵函数f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上为单调递增函数，
∴内层函数t=ax²+2x在[2，4]上为单调递增函数，内层函数的对称轴为x=-，
当a＞0则对称轴在区间左侧，t=ax²+2x在[2，4]上为单调递增函数，
又其处在真数位置上故有t=4a+4＞0，得a＞-1，故a＞0满足题意．
当a＜0时，当且仅当对称轴在区间右侧时，内层函数是增函数，此时有解得a≥-，故有-≤a＜0
当a=0时，数f（x）=log₂2x在[2，4]上为单调递增函数，故a=0符合题意
综上a的取值范围是[-，+∞）
分析：函数f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上为单调递增函数，由于外层函数是增函数，所以内层函数t=ax²+2x在[2，4]上为单调递增函数，内层函数的对称轴为x=-，讨论对称轴与区间[2，4]的位置关系若a＞0则对称轴在区间左侧，成立，若a＜0，则对称轴在区间右侧，此时有4≤-，利用二次函数的单调性进行转化时也要考虑真数为正这一条件．
点评：考查复合函数的单调性，利用复合函数的单调性规则将单调性转化为关于参数a的方程或不等式，解不等式求出参数的范围．