Question

8．已知函数$f（x）=\frac{{5-x+{4^x}}}{2}-\frac{{|{5-x-{4^x}}|}}{2}$，则f（x）的单调增区间为（-∞，1]，$f（x）＞\sqrt{5}$的解集为（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]．

Answer 1

分析 根据绝对值的性质将函数f（x）进行化简，结合分段函数的表达式进行判断求解即可．

解答 解：∵函数y=5-x-4^x为减函数，且x=1时，y=5-x-4^x=5-1-4=0，
∴当x＞1时，5-x-4^x＜0，此时f（x）=$\frac{5-x+{4}^{x}}{2}$+$\frac{5-x-{4}^{x}}{2}$=5-x为减函数，
当x≤1时，5-x-4^x≥0，此时f（x）=$\frac{5-x+{4}^{x}}{2}$-$\frac{5-x-{4}^{x}}{2}$=4^x为增函数，
即函数f（x）的单调递增区间为为（-∞，1]，
当x＞1时，由5-x＞$\sqrt{5}$得x＜5-$\sqrt{5}$，此时1＜x＜5-$\sqrt{5}$，
当x≤1时，由4^x＞$\sqrt{5}$得x＞log₄$\sqrt{5}$，此时log₄$\sqrt{5}$＜x≤1，
即不等式的解集为（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]，
故答案为：（-∞，1]，（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据绝对值的性质将函数表示成分段函数形式是解决本题的关键．