Question

15．对于R上可导的任意函数f（x），若满足$\frac{1-x}{f′（x）}$≥0，则必有（　　）

• A． f（0）+f（2）＜2f（1）
• B． f（0）+f（2）≤2f（1）
• C． f（0）+f（2）＞2f（1）
• D． f（0）+f（2）≥2f（1）

Answer 1

分析 对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项即可．

解答 解：∵$\frac{1-x}{f′（x）}$≥0，
∴x≥1时，f′（x）＜0；x≤1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）为减函数，在（-∞，1）上为增函数，
∴f（x）_max=f（1），
∴f（1）＞f（0）
 f（1）＞f（2）
∴f（0）+f（2）＜2f（1），
故选：A．

点评 利用导函数的符号能判断函数的单调性，当导函数大于0则函数递增；当导函数小于0则函数单调递减．