Question

若函数f（x）=在[1，+∞）上为增函数．
（Ⅰ）求正实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a=1，求征：＜（ n∈N*且n≥2 ）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的导数，因为函数f（x）=在[1，+∞）上为增函数，所以在[1，+∞）上导数大于等于0恒成立，就可根据x的范围求出a的范围．
（Ⅱ）因为f（x）=在[1，+∞）上为增函数，所以n≥2时：f（）＞f（1），因为f（1）=0，所以，n≥2时：f（）＞0，就可得到，进而证明成立，再利用导数判断y=lnx-x在[1，+∞）上为减函数，就可得到n≥2时，ln＜=1+（n≥2），
进而证明．
解答：解：（Ⅰ）由已知：f'（x）=
依题意得：≥0对x∈[1，+∞）恒成立
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立
∴a-1≥0即：a≥1
（Ⅱ）∵a=1
∴f（x）=，
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（）=
即：
∴
设g（x）=lnx-x  x∈[1，+∞），
则对x∈[1，+∞）恒成立，
∴g（x）在[1+∞）为减函数，∵＞1
∴n≥2时：g（）=ln-＜g（1）=-1＜0
即：ln＜=1+（n≥2）
∴lnn=
综上所证：（n∈N*且≥2）成立．
点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及借助函数的单调性证明不等式成立，属于导数的应用．