Question

二次函数f（x），又y=f(x)-

1

4

的图象与x轴有且仅有一个公共点，且f′（x）=1-2x．
（1）求f（x）的表达式．
（2）若直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由题意设f（x）=ax²+bx+c，求出f′（x）后结合题意求出a、b，再代入y=f(x)-

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4

化简，由题意和二次函数的性质令△=0求出c的值，代入解析式求出f（x）；
（2）先求出f（x）=x-x²图象与x轴交点坐标，再画出图象，并求出y=kx和y=f（x）的图象的交点的横坐标，结合题意和定积分知识列出方程，求出k的值．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
∵f′（x）=1-2x，∴a=-1，b=1，
∴y=f(x)-

1

4

=-x2+x+c-

1

4

的图象与x轴有且仅有一个公共点，
∴△=1+4（c-

1

4

）=0，解得c=0，
则f（x）=x-x²…．
（2）由（1）得f（x）=x-x²图象与x轴交点是（0，0）、（1，0），
如图：直线y=kx和y=f（x）的图象的交点为A，
由

y=kx y=x-x2

得，x=1-k，
∵直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，
∴

1 2 ∫

1 0

(x-x2)dx=

∫

1-k 0

(x-x2-kx)dx，
即

1

2

×（

1

2

-

1

3

）=

1-k

2

×(1-k)2-

1

3

×(1-k)3，

1

12

=

(1-k)3

6

，解得k=1-

3 4

2

，
故k的值是1-

3 4

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，以及定积分求不规则图形的面积问题，关键是正确画图和确定积分的上界和下界，属于中档题．