Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）求三棱锥D-A₁AC的体积．

Answer 1

分析：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连结AC₁交A₁C于G，连结DG，证明BC₁∥DG，由线面平行的判定定理证明BC₁∥平面A₁CD；
（II）利用线面垂直的性质证BC₁⊥AC，再证BC₁⊥B₁C．由线面垂直的判定定理可证线面垂直；
（III）利用△ABC为等腰直角三角形，可求其面积，又AA₁⊥平面ABC，AA₁为三棱锥A₁-ABC的高，利用三棱锥的换底性求体积．

解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连结AC₁交A₁C于G，连结DG
因为AC=BC=BB₁=2，
所以四边形A₁C₁CA、BCC₁B₁为正方形．
所以G为AC₁中点．
在△ABC₁中，因为D为AB的中点，
所以BC₁∥DG．
因为DG?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以CC₁⊥平面ABC．
因为AC?平面ABC，
所以CC₁⊥AC．
又AC⊥BC，CC₁∩BC=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．
因为BC₁?平面BCC₁B₁，
所以BC₁⊥AC．
因为BB₁C₁C是正方形，
所以BC₁⊥B₁C．
又B₁C∩AC=C，
所以BC₁⊥平面AB₁C．
（Ⅲ）因为△ABC为等腰直角三角形，
所以S△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

×

2

×

2

=1．
因为AA₁⊥平面ABC，
所以VD-A1AC=VA1-ADC=

1

3

•AA1•S△ACD=

1

3

×2×1=

1

3

．

点评：本题考查了线面垂直的性质与判定，考查了线面判定的判定，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．