Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₄（3x+1）．
（Ⅰ）若f（x）≤g（x），求x的取值范围D；
（Ⅱ）设H（x）=g（x）-

1

2

f（x），当x∈D时，求函数H（x）的值域．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）若f（x）≤g（x），根据对数的运算法则解对数不等式即可求x的取值范围D；
（Ⅱ）求出H（x）=g（x）-

1

2

f（x）的表达式，结合复合函数单调性之间的关系即可求出当x∈D时，求函数H（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）≤g（x），
则log₂（x+1）≤log₄（3x+1）=

1

2

log₂（3x+1）=log₂

3x+1

．
则满足

x+1＞0 3x+1＞0 x+1＜ 3x+1

，
即

x＞-1 x＞- 1 3 x2+2x+1＜3x+1

，即

x＞-1 x＞- 1 3 0＜x＜1

，
解得0＜x＜1，
即x的取值范围D=（0，1）；
（Ⅱ）H（x）=g（x）-

1

2

f（x）=log₄（3x+1）-

1

2

log₂（x+1）=

1

2

log₂（3x+1）-

1

2

log₂（x+1，
设t=

3x+1

x+1

，则t=

3(x+1)-2

x+1

=3-

2

x+1

，
则函数t=

3x+1

x+1

，在D=（0，1）上为增函数，
∴1＜t＜2，
则0＜

1

2

log₂t＜1．
即0＜H（x）＜1，
故当x∈D时，函数H（x）的值域为（0，1）．

点评：本题主要考查对数函数的性质和对数的运算，利用复合函数单调性之间的关系是解决函数值域的基本方法．