Question

已知M（-5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：
①

y2

16

-

x2

9

=1；      
②

x2

4

+

y2

9

=1；        
③

x2

4

-

y2

9

=1；
④y²=4x；         
⑤x²+y²-2x-3=0
其中为“黄金曲线”的是

 

．（写出所有“黄金曲线”的序号）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出所求双曲线的方程．再分别将双曲线与五条曲线联立，通过解方程判断是否有交点，由此可得答案．

解答： 解：∵点M（-5，0），N（5，0），点P使|PM|-|PN|=6，
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，
则双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），
对于①，两方程联立，无解．则①错；
对于②，联立

x2

4

+

y2

9

=1和

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），无解，则②错；
对于③，联立

x2

4

-

y2

9

=1和

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），无解，则②错；
对于④，联立y²=4x和

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），解得x=

9+3 73

8

成立．
对于⑤，联立x²+y²-2x-3=0和

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），化简得25x²-18x-171=0，
由韦达定理可得两根之积小于0，必有一个正根，则⑤成立．
故答案为：④⑤．

点评：本题考查双曲线的定义和方程，考查联立曲线方程求交点，考查运算能力，属于基础题和易错题．