Question

双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，若P为其图象上一点，且|PF₁|=3|PF₂|，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A、（1，2]
• B、（1，2）
• C、（2，+∞）
• D、[2，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，进而根据|PF₁|=3|PF₂|，求得a=|PF₂|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，e=2且双曲线离心率大于1，最后综合答案可得．

解答： 解：根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，
即3|PF₂|-|PF₂|=2a，
∴a=|PF₂|，|PF₁|=3a，
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜4|PF₂|，c＜2|PF₂|=2a，
∴

c

a

＜2，
当P为双曲线顶点时，

c

a

=2，
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故选：A．

点评：本题主要考查了双曲线的定义和简单性质，三角形边与边之间的关系．解题一定要注意点P在椭圆顶点位置时的情况，以免遗漏答案．