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    求证：2＜（1+
    1n
    ）n＜3（n≥2，n∈N*）．
    分析：由二项式定理知（1+
    1
    n
    ）n=2+
    1
    2!
    ×
    n(n-1)
    n2
    +
    1
    3!
    ×
    n(n-1)(n-2)
    n3
    +…+
    1
    n!
    ×
    n×(n-1)××2×1
    nn
    ＜2+
    1
    2!
    +
    1
    3!
    +
    1
    4!
    +…+
    1
    n!
    ＜2+
    1
    2
    +
    1
    22
    +
    1
    23
    +…+
    1
    2n-1
    =2+
    1
    2
    [1-(
    1
    2
    )    n-1    ]
    1-
    1
    2
    =3-（
    1
    2
    ）n-1＜3．且（1+
    1
    n
    ）n=1+1+Cn2×
    1
    n2
    +Cn3×
    1
    n3
    +…+Cnn×
    1
    nn
    ＞2．由此知2＜（1+
    1
    n
    ）n＜3．
    解答：证明：（1+
    1
    n
    ）n=Cn0+Cn1×
    1
    n
    +Cn2（
    1
    n
    ）2+…+Cnn（
    1
    n
    ）n
    =1+1+Cn2×
    1
    n2
    +Cn3×
    1
    n3
    +…+Cnn×
    1
    nn

    =2+
    1
    2!
    ×
    n(n-1)
    n2
    +
    1
    3!
    ×
    n(n-1)(n-2)
    n3
    +…+
    1
    n!
    ×
    n×(n-1)××2×1
    nn

    ＜2+
    1
    2!
    +
    1
    3!
    +
    1
    4!
    +…+
    1
    n!
    ＜2+
    1
    2
    +
    1
    22
    +
    1
    23
    +…+
    1
    2n-1

    =2+
    1
    2
    [1-(
    1
    2
    )    n-1    ]
    1-
    1
    2
    =3-（
    1
    2
    ）n-1＜3．
    显然（1+
    1
    n
    ）n=1+1+Cn2×
    1
    n2
    +Cn3×
    1
    n3
    +…+Cnn×
    1
    nn
    ＞2．
    所以2＜（1+
    1
    n
    ）n＜3．
    点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意二项式定理和放缩法的合理运用．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 （n∈N*）
    （2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数．
    （3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+
    1n
    ）n＜3．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•崇明县二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2+2Sn=3an（n∈N*）．数列bn=
    1               n=1
    an-1
    n
            n≥2
    ．
    （1）求证：数列{an}为等比数列；
    （2）若对于任意n∈N*，不等式bn≥（n+1）λ恒成立，求实数λ的最大值；
    （3）对于数列{bn}中值为整数的项，按照原数列中前后顺序排列得到新的数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•虹口区二模）已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（
    n+1n
    ）2an
    （1）求数列{an}的通项公式
    （2）设bn=（An2+Bn+C）•2n，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常数A、B、C的值，若不存在，说明理由
    （3）求证：a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n，（ n∈N*）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    求证：2＜（1+
    1
    n
    ）n＜3（n≥2，n∈N*）．

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