Question

（2008•虹口区二模）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N^*，均有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出常数A、B、C的值，若不存在，说明理由
（3）求证：a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）•2ⁿ，（ n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）用n=1、n=2、n=3、…，一共n-1个值代入式子：a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n得到n-1个等式，将此n-1个等式相乘，就可以得到a_n=2^n-1n²a₁=2ⁿ•n²；
（2）根据b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，得到b_n+1=（A（n+1）²+B（n+1）+C）•2ⁿ⁺¹，再将b_n+1-b_n进行化简，整理得
（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）•2ⁿ，最后根据An²+（4A+B）n+2A+2B+C=2ⁿ恒等，采用比较系数法，可得A、B、C的值；
（3）采用数学归纳法，先验证n=1时不等式的等号成立，然后假设n=k（n≥2）时不等式成立，即a₁+a₂+…+a_k≤（k²-2k+2）•2^k，采用放缩的方法可以证出n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）•2^k+1也成立，因此可以得出结论对所有的正整数n，不等式都能成立．

解答：解：（1）由a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n得：
a2=2(

1+1

1

)  2a1⇒a2=2(

2

1

) 2a1
a3=2(

2+1

2

) 2a2⇒a3=2(

3

2

) 2a2
…
an=2(

n-1+1

n-1

) 2an-1⇒an=2(

n

n-1

) 2an-1
将这n-1个式子相乘，得a_n=2^n-1n²a₁=2ⁿ•n²，
（2）∵b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ
∴b_n+1=（A（n+1）²+B（n+1）+C）•2ⁿ⁺¹
∴b_n+1-b_n=（A（n+1）²+B（n+1）+C）•2ⁿ⁺¹-（An²+Bn+C）•2ⁿ
=（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）•2ⁿ
若a_n=b_n+1-b_n成立，则2ⁿ•n²=（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）•2ⁿ对一切正整数n都成立
∴An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²
∴

A=1 4A+2B=0 2A+2B+C=0

⇒A=1，B=-4，C=6；
（3）用数学归纳法进行证明：
当n=1时，a₁=2≤（1²-2×1+2）•2¹：=2，式子成立
当n≥2时，设n=k时不等式成立，
即a₁+a₂+…+a_k≤（k²-2k+2）•2^k成立，则
a₁+a₂+…+a_k+a_k+1≤（k²-2k+2）•2^k+2^k+1•（k+1）²
而（k²-2k+2）•2^k+2^k+1•（k+1）²=2^k+1[（

1

2

k²-k+1）+（k²+2k+1）]
=2^k+1（

3

2

k²+k+2）
并且2^k+1（

3

2

k²+k+2）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）•2^k+1，
∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）•2^k+1
即n=k+1时不等式成立，
综上所述，可得对任意 n∈N^*，a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）•2ⁿ 总成立

点评：本题主要考查了数列的递推式、数学归纳法和不等式的证明等知识点，是一道难题．注意解题过程中数学归纳的一般方法和不等式放缩的技巧，以达到证明的目的．