Question

从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t（t＞0）．试问当x取何值时，容量V有最大值．

Answer 1

分析：求体积最大值的问题，由题意解出v的表达式，对函数v进行求导，解出极值点，然后根据极值点来确定函数v的单调区间，
因极值点是关于a，t的表达式，此时就需要讨论函数v的单调性，分别代入求出最大值，从而求解．

解答：解：由题意得，V=x（2a-2x）²=4（a-x）²•x
∴

x＞0 2a-2x＞0 x 2a-2x ≤t

∴0＜x≤

2at

1+2t

∴函数V（x）=4（a-x）²•x的定义域为(0，

2at

1+2t

]
V′=4（x-a）•（3x-a）令V′=0得x=

a

3

（1）当

a

3

≤

2at

1+2t

，即t≥

1

4

时，
∵0＜x＜

a

3

时，V′＞0．
V（x）为增函数；

a

3

＜x≤

2at

1+2t

时，V′＜0．V（x）为减函数；
∴V（x）在(0，

2at

1+2t

]上有极大值V（

a

3

），
∵x=

a

3

为唯一驻点，
∴当x=

a

3

时，V有最大值

16

27

a3．
（2）当

a

3

＞

2at

1+2t

，即0＜t＜

1

4

时，
∵0＜x＜

2at

1+2t

时，V′＞0恒成立；
∴V（x）为增函数；
∴当x=

2at

1+2t

时，V有最大值

8a3t

(1+2t)3

．

点评：此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．