Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B₁E=

1

2

．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅱ）求异面直线D₁O与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：由于是正方体所以建立空间直角坐标系解题简洁
（Ⅰ）求出

AD1

•

B1D

=0，

AC

•

B1D

=0，即可证明B₁D，垂直平面D₁AC内的两条相交直线AC与AD₁，就证明了B₁D⊥平面D₁AC．
（（Ⅱ）求向量D₁O与向量A₁D，的数量积，即可求出异面直线D₁O与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面AEC的法向量为n，再求出

D1O

，利用sin?=|cos＜n，

D1O

＞|=

|n• D1O |

|n|•| D1O |

，即可求直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0），B₁（2，2，2），D₁（0，0，2）
∴

AD1

=(-2，0，2)，

AC

=(-2，2，0)，

B1D

=(-2，-2，-2)．
∵

AD1

•

B1D

=4+0-4=0

AC

•

B1D

=4-4+0=0
又AC与AD₁交于A点

AD1

⊥

B1D

，

AC

⊥

B1D

∴B₁D⊥平面D₁AC．（4分）
（Ⅱ）设A₁D与D₁O所成的角为θ．D₁（0，0，2），O（1，1，0），A₁（2，0，2）．
∴

A1D

=(-2，0，-2)，

D1O

=(1，1，-2)．
∴cosθ=

| A1D • D1O |

| A1D |•|D1O|

=

2

2 2 × 6

=

3

6

．
所求异面直线A₁D与D₁O所成角的余弦值为

3

6

．（9分）
（Ⅲ）设平面AEC与直线D₁O所成的角为?．
设平面AEC的法向量为n=（x，y，z）．E(2，2，

3

2

)，C（0，2，0），A（2，0，0），

AE

=(0，2，

3

2

)，

EC

=(-2，0，-

3

2

)．

n• AE =0 n• EC =0

?

x=- 3 4 z y=- 3 4 z

令z=1，则x=-

3

4

，y=-

3

4

∴n=(-

3

4

，-

3

4

，1)．
∴sin?=|cos＜n，

D1O

＞|=

|n• D1O |

|n|•| D1O |

=

7 51

51

．
所求平面AEC与直线D₁O所成角的正弦值为

7 51

51

．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．