Question

如图，函数g（x）=xf（x）+x³-1的图象在点P处的切线方程是，且f（x）也是可导函数，则f（-2）+f（-2）等于________．

Answer 1

分析：求出g（x）的导函数，由函数图象可知切点P的横坐标为-2，把x=-2代入导函数中得到一个关系式，记作（*），又把x=-2代入切线方程求出切点的纵坐标，确定出切点坐标，把求出的切点坐标代入g（x）中，即可求出f（-2）的值，然后把求出的f（-2）的值代入（*）中即可求出f′（-2）的值，进而求出f（-2）+f′（-2）的值．
解答：求导得：g′（x）=f（x）+xf′（x）+3x²，
把x=-2代入得：g′（-2）=f（-2）-2f′（-2）+12=-（*），
把x=-2代入切线方程得：y=-1，
所以切点坐标为（-2，-1），即g（-2）=-2f（-2）-9=-1，
解得：f（-2）=-4，
把f（-2）=-4代入（*）得：-4-2f′（-2）+12=-，
解得：f′（-2）=，
则f（-2）+f′（-2）=-4+=．
故答案为：
点评：根据函数图象得到切点P的横坐标是本题的突破点，解此类题的思路是采用数形结合的思想．同时要求学生掌握求导法则及直线与曲线交点的特点，会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率．