Question

10．已知圆M：x²+y²-x-6y+c=0的圆心为M，与直线l：x+2y-3=0的两个交点P，Q．
（Ⅰ）问c取何值时，满足MP⊥MQ；
（Ⅱ）已知O是坐标原点，问c取何值时，满足OP⊥OQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由MP⊥MQ，则圆心到直线l：x+2y-3=0的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即可得到m的值．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将x=3-2y代入x²+y²-x-6y+c=0得5y²-16y+6+c=0，利用韦达定理，结合x₁x₂+y₁y₂=0，求出c．

解答 解：（Ⅰ）圆的标准方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{37}{4}$-c，圆心M（$\frac{1}{2}$，3），半径r=$\sqrt{\frac{37}{4}-c}$，
若MP⊥MQ，则圆心到直线l：x+2y-3=0的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
即$\frac{|\frac{1}{2}+6-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{\frac{37}{4}-c}$，即c=-$\frac{87}{20}$．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将x=3-2y代入x²+y²-x-6y+c=0得5y²-16y+6+c=0，
则y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{6+c}{5}$．
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0，
∴5•$\frac{6+c}{5}$-6•$\frac{16}{5}$+9=0，
∴c=$\frac{21}{5}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，平面向量的数量积运算法则，韦达定理，属于中档题．