Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}的首项b₁=1，且满足4nbn+1=(an+1)2bn(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的定义，构造

an+2-an+1

an+1-an

=q≠0进行证明．
（2）利用（I）可先求a_n+1-a_n=2ⁿ，利用叠加法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，从而可求a_n
（3）由已知可得b_n+1=b_n所以{b_n}是首项为1的常数数列．

解答：解：（1）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）…（2分）∵a₁=1，a₂=3∴a₂-a₁=2≠0
∴{a_n+1-a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．  …（4分）
（2）解：由（I）得a_n+1-a_n=2ⁿ  …（5分）∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，…（7分）
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1…（9分）
（3）因为4bn+1=(an+1)2bn(n∈N*)，
且由（II）知，b_n+1=b_n…（10分）
所以{b_n}是首项为1的常数数列           …（11分）
所以S_n=n（n∈N^*）…（13分）

点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识的综合运用，考查化归的数学思想方法在解题中的运用，考查综合解题能力．