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    当x1＞0，x2＞0，则
    x1+x2
    2
    ≥
    		x1x2
    ，当且仅当x1=x2时取等号，这个结论可以推广到n个正数的情况，即：当x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，则
    x1+x2+x3+…+xn
    n
    ≥
    nx1x2x3…xn
    (n∈N*)
    x1+x2+x3+…+xn
    n
    ≥
    nx1x2x3…xn
    (n∈N*)
    ；当且仅当
    x1=x2=x3=…=xn（n∈N*）
    x1=x2=x3=…=xn（n∈N*）
    时取等号．
    分析：认真观察
    x1+x2
    2
    ≥
    		x1x2
    ，等式左边的数是：两个正数的算术平均数，右边的是这两个数的几何平均数，利用此规律求解这个结论可以推广到n个正数的情况进行填空，从而即可求解．
    解答：解：认真观察式子：
    x1+x2
    2
    ≥
    		x1x2
    ，
    等式左边的数是：两个正数的算术平均数，右边的是这两个数的几何平均数，
    利用此规律可以推测到n个正数的情况，即：
    当x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，则
    x1+x2+x3+…+xn
    n
    ≥
    nx1x2x3…xn
    (n∈N*)    ；
    当且仅当 x1=x2=x3=…=xn（n∈N*）时取等号．
    故答案为：
    x1+x2+x3+…+xn
    n
    ≥
    nx1x2x3…xn
    (n∈N*)    ；x1=x2=x3=…=xn（n∈N*）．
    点评：本题考查了归纳推理、分析能力，认真观察各式，根据所给式子的结构特点的变化情况总结规律是解题的关键．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
    （Ⅰ）求证：函数g（x）=
    f(x)
    x
    在（0，+∞）上单调递增；
    （Ⅱ）当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
    （Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，证明：
    1
    22
    ln22+
    1
    32
    ln32+
    1
    42
    ln42+…+
    1
    (n+1)2
    ln（n+1）2＞
    n
    2(n+1)(n+2)
    （n∈N+）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•广州二模）已知函数f（x）=
    x2
    2x+1
    （x＞0）
    （1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1时，求证：x1•x2≥3+2
    		2

    （2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数列{an}的通项公式．

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    科目：高中数学 来源：2007届宜昌市一中高三数学(理)期末考试模拟试题－旧人教 题型：044

    已知函数f(x)是在(0，＋∞)上每一点处可导的函数，若xf′(x)＞f(x)在x＞0上恒成立.

    求证：函数g(x)＝

    当x1＞0，x2＞0时，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．

    已知不等式ln(1＋x)＜x在x＞－1且x≠0时恒成立，求证：

    …＋N+).

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    科目：高中数学 来源：江西省南昌二中2012届高三第三次月考数学理科试题 题型：044

    已知函数f(x)是在(0，＋∞)上每一点处均可导的函数，若在(0，＋∞)上恒成立．

    (Ⅰ)①求证：函数在(0，＋∞)上是增函数；

    ②当x1＞0，x2＞0时，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

    (Ⅱ)已知不等式ln(x＋1)＜x在x＞－1且x≠0时恒成立，求证：

    …

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