Question

已知函数f(x)是在(0，＋∞)上每一点处可导的函数，若xf′(x)＞f(x)在x＞0上恒成立.

求证：函数g(x)＝

当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．

已知不等式ln(1＋x)＜x在x＞－1且x≠0时恒成立，求证：

…＋N₊).

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由g(x)＝′(x)＝ 　　由xf′(x)＞f(x)可知：g′(x)＞0在x＞0上恒成立. 　　从而g(x)＝ 　　(2)由(1)知g(x)＝ 　　在x1＞0，x2＞0时，　 　　于是f(x1)＜ 　　两式相加得到：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2) 　　由(2)中可知：g(x)＝ 　　 　　　由数学归纳法可知：xi＞0(i＝1，2，3，…，n)时， 　　有f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋x3＋…＋xn)(n≥2)恒成立. 　　设f(x)＝xlnx，则在xi＞0(i＝1，2，3，…，n)时 　　有x1lnx1＋x2lnx2＋…＋xnlnxn＜(x1＋x2＋…＋xn)ln(x1＋x2＋…＋xn)(n≥2)…(*)恒成立. 　　令xn＝…＋xn＝…＋ 　　由Sn＜…＋ 　　Sn＞…＋ 　　(x1＋x2＋…＋xn)ln(x1＋x2＋…＋xn)＜(x1＋x2＋…＋xn)ln(1－…＋xn)(∵ln(1＋x)＜x) 　　＜－(**) 　　由(**)代入(*)中，可知： 　　…＋ 　　于是：…＋