Question

20．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
收购价格（元/斤）	6	7	6	5
养殖成本（元/斤）	3	4	4.6	5

现打算从以下两个函数模型：
①y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π），
②y=log₂（x+a）+b
中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系．
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数解析式；
（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在8月和9月有没有可能亏损？

Answer 1

分析 （1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式；
（2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案．

解答 解：（1）①选择函数模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）
拟合收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系，
由题：A=1，B=6，T=4，
∴ω=$\frac{π}{2}$
∴y=sin（$\frac{π}{2}$x+φ）+6，
由函数y=sin（$\frac{π}{2}$x+φ）+6的图象过点（2，7），
∴π+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{2}$，
∴y=sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）+6，
②选择函数模型y=log₂（x+a）+b拟合养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系，
由题：y=log₂（x+a）+b图象过点（1，3），（2，4），
$\left\{\begin{array}{l}3={log}_{2}（1+a）+b\\ 4={log}_{2}（2+a）+b\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=3\end{array}\right.$
∴y=log₂x+3；
（2）由（1）：
当x=8时，y=sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）+6=sin（$\frac{7π}{2}$）+6=5，
y=log₂x+3=log₂8+3=3+3=6＞5
当x=9时，y=sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）+6=sin（4π）+6=6
y=log₂x+3=log₂9+3＞log₂8+3=3+3=6
这说明第8、9月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损．
答：今年该地区生猪养殖户在8、9月里有可能亏损．

点评 本题考查的知识点是函数模型的选择与使用，待定系数法求函数的解析式，难度中档．