Question

10．已知0＜a＜1，函数f（x）=log_ax．
（1）若f（5a-1）≥f（2a），求实数a的最大值；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，设g（x）=f（x）-3^x+2m，若函数g（x）在（1，2）上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）根据g（x）的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵0＜a＜1，
∴0＜5a-1≤2a，
∴$\frac{1}{5}$＜a≤$\frac{1}{3}$，
∴a的最大值是$\frac{1}{3}$；
（2）g（x）在（0，+∞）递减，
∵g（x）在（1，2）上有零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=-3+2m＞0}\\{g（2）=-1-9+2m＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{2}$＜m＜5，
故m的范围是（$\frac{3}{2}$，5）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道中档题．