Question

2．在数列{a_n}，{b_n}中，已知a₁=2，b₁=4，且-a_n，b_n，a_n+1成等差数列，-b_n，a_n，b_n+1也成等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+b_n}和{a_n-b_n}都是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=（a_n-3ⁿ）log₃[a_n-（-1）ⁿ]，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）-a_n，b_n，a_n+1成等差数列，-b_n，a_n，b_n+1也成等差数列．可得b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2}$，a_n=$\frac{{b}_{n+1}-{b}_{n}}{2}$，a_n+b_n=$\frac{1}{2}$[（a_n+1+b_n+1）-（a_n+b_n）]，即a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n），即可证明数列{a_n+b_n}是首项、公比均为3的等比数列．同理可得：数列{b_n-a_n}是首项为1、公比均为-1的等比数列．可得a_n=$\frac{（{b}_{n}+{a}_{n}）-（{b}_{n}-{a}_{n}）}{2}$．
（II）c_n=（2a_n-3ⁿ）log₃[2a_n-（-1）ⁿ]=（-1）ⁿ•n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵-a_n，b_n，a_n+1成等差数列，-b_n，a_n，b_n+1也成等差数列．
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2}$，a_n=$\frac{{b}_{n+1}-{b}_{n}}{2}$，
∴a_n+b_n=$\frac{1}{2}$[（a_n+1+b_n+1）-（a_n+b_n）]，即a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n），
又∵a₁+b₁=1+2=3，∴数列{a_n+b_n}是首项、公比均为3的等比数列；
同理可得：-a_n+b_n=$\frac{1}{2}$[（a_n+1-b_n+1）+（-a_n+b_n）]，即a_n+1-b_n+1=-（a_n-b_n），
又∵-a₁+b₁=-1+2=1，
∴数列{b_n-a_n}是首项为1、公比均为-1的等比数列，
∴b_n-a_n=（-1）ⁿ⁺¹，
又∵b_n+a_n=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{（{b}_{n}+{a}_{n}）-（{b}_{n}-{a}_{n}）}{2}$=$\frac{1}{2}$[3ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹]；
（II）解：∵c_n=（2a_n-3ⁿ）log₃[2a_n-（-1）ⁿ]
=[3ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹-3ⁿ]log₃[3ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ]
=（-1）ⁿ•n，
∴T_n=-1+2-3+4-…+（-1）ⁿ•n，
-T_n=1-2+3-4+…+（-1）ⁿ•（n-1）+（-1）ⁿ⁺¹•n，
两式相减得：2T_n=-1+1-1+1-…-1-（-1）ⁿ⁺¹•n，
∴T_n=$\frac{1}{2}${$\frac{-[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$+（-1）ⁿ•n}．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．