Question

17．双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F₁作曲线C₂：x²+y²=a²的切线，设切点为M，延长F₁M交曲线C₃：y²=2px（p＞0）于点P，其中C₁与C₃有一个共同的焦点，若M为F₁P的中点，则双曲线C₁的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出P的坐标，代入抛物线方程，从而求双曲线的离心率．

解答 解：|OF₁|=c，|OM|=a，|F₁M|=b，
又∵M为PF₁的中点，
∴|PF₂|=2|OM|=2a，|PF₁|=2b，
∵C₁与C₃有一个共同的焦点，
∴p=2c，
设P（x，y），则x+c=2a，
∴x=2a-c，
∵c•y_M=ab，
∴y_M=$\frac{ab}{c}$，
∴y_P=$\frac{2ab}{c}$，
代入抛物线方程可得$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=4c（2a-c），
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．