Question

（2009•襄阳模拟）己知a≠0，函数f（x）=x³+ax²-a²x-1，二次函数g（x）=ax²-x-1．
（1）若a＜0，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当函数y=g（x）存在最大值且y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点时，记y=g（x）的最大值为h（a），求函数h（a）的解析式；
（3）若函数y=f（x）与y=g（x）在区间（a-2，a）内均为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（2）根据函数y=f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，可求出a的范围，根据a的范围求出y=g（x）在区间[-1，0）上的最小值为h（a）即可．
（3）讨论a的正负，根据函数y=f（x）与y=g（x）的单调增区间是区间 （a-2，a）的子集建立方程组，解之即可；

解答：（1）解：f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a）
∵a＜0，
∴

a

3

＜-a
故函数f （x）在区间（-∞，

a

3

）、（-a，+∞）上单调递增，在（

a

3

，-a）上单调递减（4分）
（2）解：∵二次函数g（x）=ax²-x-1有最大值，
∴a＜0（5分）
由f（x）=g（x）得：x（x²-a²+1）=0（6分）
∵函数y=f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，
∴-a²+1≥0得-1≤a≤1，又a＜0，
∴-1≤a＜0（8分）
又g（x）=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

-1，
∴h（a）=-

1

4a

-1（-1≤a＜0）（10分）
（3）解：当a＜0时，函数f （x）在区间（-∞，

a

3

）、（-a，+∞）上单调递增，
函数g （x）在区间（-∞，

1

2a

）上单调递增
∴

a≤ a 3 a≤ 1 2a

得a≤-

2

2

（12分）
当a＞0时，函数f （x）在区间（-∞，-a）、（

a

3

，+∞）上单调递增，
函数g （x）在区间（

1

2a

，+∞）上单调递增
∴

a-2≥ a 3 a-2≥ 1 2a

得a≥3
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-

2

2

]∪[3，+∞）（13分）

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及图象交点的问题，常常转化成方程根的个数，属于中档题．