Question

7．下列函数①f（x）=x²（x＞0）；②f（x）=x³（x＞0）；③f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0）；④f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$（x＞0），其中对任意x₁，x₂∈（0，+∞），满足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的函数序号是④．

Answer 1

分析 对任意x₁，x₂∈（0，+∞），满足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的函数恒成立，则函数在为（0，+∞）上凸函数，对四个函数进行分析，可得结论．

解答 解：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），满足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的函数恒成立，则函数在为（0，+∞）上凸函数，
①f（x）=x²（x＞0）下凹函数，不满足；
②f（x）=x³（x＞0）下凹函数，不满足；
③f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0）；下凹函数，不满足；
④f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$（x＞0），满足条件．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，任意x₁，x₂∈（0，+∞），满足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的函数恒成立，则函数在为（0，+∞）上凸函数是解题的关键．