Question

16．设f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+ax（a＞0）．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）设g（a）为f（x）在区间[1，2]上的最大值，写出g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，通过解导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性，从而求出函数的最大值，继而得到g（a）的表达式．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=a-$\frac{1}{{ax}^{2}}$，（a＞0，x∈（0，+∞）），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增；
（2）由（1）得：
当$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1时，f（x）_最大值=f（2）=2a-$\frac{1}{2a}$，
当$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）_最大值=f（1）=a，
当1＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，
∵f（2）-f（1）=2a-$\frac{1}{2a}$-a=$\frac{{2a}^{2}-1}{2a}$，
∴当$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）_最大值=f（1）=a，
当$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜1时，f（x）_最大值=f（2）=2a-$\frac{1}{2a}$，
综上，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-\frac{1}{2a}，a≥\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a，0＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．