Question

6．已知下列四个命题：p₁：若f（x）=2^x-2^-x，则?x∈R，f（-x）=-f（x）；p₂：若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，x≥0\\（{a+2}）{e^{ax}}，x＜0\end{array}\right.$为R上的单调函数，则实数a的取值范围是（0，+∞）；p₃：若函数f（x）=xlnx-ax²有两个极值点，则实数a的取值范围是$（{0，\frac{1}{2}}）$；p₄：已知函数f（x）的定义域为R，f（x）满足$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[{0，1}）\\ 2-{x^2}，x∈[{-1，0}）\end{array}\right.$且f（x）=f（x+2），$g（x）=\frac{2x+5}{x+2}$，则方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上所有实根之和为-7．其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 p₁：根据奇函数的定义判定即可；
p₂：求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的范围即可；
p₃：先求导函数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围
p₄：将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．

解答 解：关于命题p₁：根据奇函数的定义可知，
f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），故?x∈R，f（-x）=-f（x），
故命题p₁正确；
关于命题p₂：f′（x）=$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2ax，x≥0\\ a（a+2）{e}^{ax}，x＜0\end{array}\right.$；
∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，
即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax²+1≥1；
要使f（x）在R上为单调函数则x＜0时，a（a+2）＞0，
∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e^ax＜a+2，
∴a+2≤1，解得a≤-1，不符合a＞0，
∴这种情况不存在；
（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，
即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax²+1≤1；
要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，
解得-2＜a＜0，并且（a+2）e^ax＞a+2，
∴a+2≥1，解得a≥-1，∴-1≤a＜0；
综上得a的取值范围为[-1，0）；
故命题p₂是假命题；
关于命题p₃：由题意，y′=lnx+1-2ax
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函数y=xlnx-ax²有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当a=$\frac{1}{2}$时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）；
故命题p₃正确，
关于命题p₄：
∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[{0，1}）\\ 2-{x^2}，x∈[{-1，0}）\end{array}\right.$，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，x∈[0，1）\\-{x}^{2}，x∈[-1，0）\end{array}\right.$；
又$g（x）=\frac{2x+5}{x+2}$，
∴g（x-2）-2=$\frac{1}{x}$，
当x≠2k-1，k∈Z时，
上述两个函数都是关于（-2，2）对称，
；
由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的实根有3个，
x₁=-3，x₂满足-5＜x₂＜-4，x₃满足0＜x₃＜1，x₂+x₃=-4；
∴方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实根之和为-7．
故命题p₄正确；
故选：C．

点评 本题考查均值不等式，主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷