Question

11．已知a∈R，函数f（x）═log₂（$\frac{1}{x}$+a）．
（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]，讨论函数g（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）若f（1）＜2，则log₂（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得实数a的取值范围；
（2）令函数g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5，即（a-4）x²+（a-5）x-1=0，分类讨论方程根的个数，可得不同情况下函数g（x）的零点个数．

解答 解：（1）若f（1）＜2，
则log₂（1+a）＜2，
即0＜1+a＜4，
解得：a∈（-1，3）；
（2）令函数g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，
则f（x）=log₂[（a-4）x+2a-5]，
即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5，
即（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
①当a=4时，方程可化为：-x-1=0，解得：x=-1，
此时$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=3，满足条件，
即a=4时函数g（x）有一个零点；
②当（a-5）²+4（a-4）=0时，a=3，方程可化为：-x²-2x-1=0，
此时$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=2，满足条件，
即a=3时函数g（x）有一个零点；
③当（a-5）²+4（a-4）＞0时，a≠3，
方程有两个根，x=-1，或x=$\frac{4}{a-4}$，
当x=-1时，$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=a-1，当a＞1时，满足条件，
当x=$\frac{4}{a-4}$时，$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=$\frac{5}{4}a-1$，当a$＞\frac{4}{5}$时，满足条件，
a≤$\frac{4}{5}$时，函数g（x）无零点；
$\frac{4}{5}$＜a≤1时，函数g（x）有一个零点；
a＞1且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，对数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．