Question

16．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=$\sqrt{2}$BB₁，则AB₁与BC₁所成角的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用向量加法的三角形法则，可将AB₁与C₁B的方向向量分别用三棱柱的棱对应的向量表示，进而设BB₁=1，AB=$\sqrt{2}$，分析出两向量数量积为0，进而得到两直线互相垂直．

解答 解：∵AB=$\sqrt{2}$BB₁，设BB₁=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{{AB}_{1}}$•$\overrightarrow{{BC}_{1}}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$ ）•（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{{CC}_{1}}$ ）
=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{CC}_{1}}$+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{{BB}_{1}}$²+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$
=0+$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×cos$\frac{π}{3}$-1+0=0
∴直线AB₁与BC₁所成角为$\frac{π}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键．