Question

11．设集合S_n={1，2，3，…2n-1}，若X是S_n的子集，把X的所有元素的乘积叫做X的容量（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S_n的奇（偶）子集．其中S_n的奇子集的个数为（　　）

• A． $\frac{{{n^2}+n}}{2}$
• B． 2ⁿ-1
• C． 2ⁿ
• D． 2^2n-1-2n+1

Answer 1

分析 根据题意，分析可得n=1、n=2、n=3时，S_n的所有奇子集个数，从而归纳可得集合S_n的奇子集个数．

解答 解：根据题意，n=1时，S₁={1}，S₁的所有奇子集为{1}，有1个；
n=2时，S₂={1，2，3}，S₂的所有奇子集为{1}、{3}、{1，3}，共有3个；
n=3时，S₃={1，2，3，4，5}，S₃的所有奇子集为：
{1}、{3}、{5}、{1，3}、{1，5}、{3、5}，{1，3，5}共有7个；
…，
归纳可得集合S_n={1，2，3，…2n-1}，S_n的奇子集的个数为2ⁿ-1个．
故选：B．

点评 本题考查集合的子集，是新定义的题型，关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念，是易错题．