Question

20．变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥0\\ x-2y+2≥0\\ mx-y≤0\end{array}\right.$若2x-y的最大值是2，则约束条件表示的平面区域面积为（　　）

• A． $\frac{8}{15}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥0\\ x-2y+2≥0\\ mx-y≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{mx-y=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{2}{2m-1}$，$\frac{2m}{2m-1}$），
化目标函数z=2x-y为y=2x-z，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最大值为$\frac{4}{2m-1}$-$\frac{2m}{2m-1}$=2，
解得：m=1．
A（2，2），B（$-\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
由OA⊥OB，得到平面区域面积为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{2}{3}\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$；
故选C．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．