Question

8．已知等差数列{a_n}满足：a₁=2，且a₂²=a₁a₅
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S_n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出数列的公差，利用a₂²=a₁a₅建立等式求得d，则数列的通项公式可得．
（2）利用（1）中数列的通项公式，表示出S_n根据S_n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成等比数列，故有（2+d）²=2（2+4d），
化简得d²-4d=0，
解得d=0或d=4．
当d=0时，a_n=2；
当d=4时，a_n=2+（n-1）•4=4n-2，
从而得数列{a_n}的通项公式为a_n=2或a_n=4a-2．
（2）当a_n=2时，S_n=2n．显然2n＜60n+800，
此时不存在正整数n，使得S_n＞60n+800成立．
当a_n=4n-2时，S_n=$\frac{n[2+（4n-2）]}{2}$=2n²．
令2n²＞60n+800，
即n²-30n-400＞0，
解得n＞40或n＜-10（舍去），
此时存在正整数n，使得S_n＞60n+800成立，n的最小值为41．
综上，当a_n=2时，不存在满足题意的n；
当a_n=4n-2时，存在满足题意的n，其最小值为41．

点评 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．