Question

17．若F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，过点F₁作以F₂为圆心|OF₂|为半径的圆的切线，Q为切点，若切线段F₁Q被双曲线的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接PF₁，设PF₂的中点为M，由相切可得PF₁⊥PF₂，运用勾股定理可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，运用中位线定理可得P到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，由点到直线的距离公式和双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设PF₁的中点为M，
由题意可得PF₁⊥PF₂，|PF₂|=c，|F₁F₂|=2c，
可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，
即有P到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由OM为中位线可得F₂（c，0）到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由双曲线的渐近线方程y=$\frac{a}{b}$x，
可得d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
化为3c²=4b²，
又b²=c²-a²，
可得c=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2．
故选A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．