Question

1．在平面直角坐标系xoy中，曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）上的两点A，B对应的参数分别为a，a-$\frac{π}{2}$．
（1）求AB中点M的普通轨迹方程；
（2）求点（1，1）到直线AB距离最大值．

Answer 1

分析 （1）利用中点坐标公式，即可求AB中点M的轨迹的普通方程；
（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可．

解答 解：（1）设AB中点M（x，y），则x=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$cosa+$\sqrt{2}$cos（a-$\frac{π}{2}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosa+sina），y=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$sina+$\sqrt{2}$sin（a-$\frac{π}{2}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sina-cosa），
所以x²+y²=1；
（2）由题意，OA⊥OB，曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$的普通方程为x²+y²=2，
∴O到AB距离最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$，
∴点（1，1）到直线AB距离最大值=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}+1$．

点评 本题重点考查了参数方程、距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．