Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D、E分别是AA₁、B₁C的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求异面直线A₁C₁与B₁D所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-B₁D-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设G为BC的中点，连接EG，AG，因BG=GC，B₁E=EC，则EG∥BB₁，且EG=

1

2

BB1，又AD∥BB₁，且AD=

1

2

BB1，则EG∥AD，EG=AD，从而得到四边形ADEG为平行四边形，则DE∥AG，又AG?平面ABC，DE?平面ABC，根据线面平行的判定定理可知DE∥平面ABC．
（Ⅱ）设F为BB₁的中点，连接AF，CF，根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，且D是AA₁的中点，则AF∥B₁D，A₁C₁∥AC，从而∠CAF为异面直线A₁C₁与B₁D所成的角或其补角．在Rt△ABF中，求出AF、CF，在△ABC中，求出AC，在△ACF中，即可求出∠CAF；
（Ⅲ）根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，则B₁B⊥BC，又AB⊥BC，AB∩BB₁=B，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面ABB₁D，连接BD，在△BB₁D中BD²+B₁D²=BB₁²，根据勾股定理可知BD⊥B₁D，根据BD是CD在平面ABB₁D内的射影，则CD⊥B₁D，从而∠CDB为二面角C-B₁D-B的平面角，在△BCD中求出此角即可．

解答：（Ⅰ）证明：如图，设G为BC的中点，连接EG，AG，
在△BCB₁中，∵BG=GC，B₁E=EC，∴EG∥BB₁，且EG=

1

2

BB1，
又AD∥BB₁，且AD=

1

2

BB1，∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形，∴DE∥AG，
又AG?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC．

（Ⅱ）解：如图，设F为BB₁的中点，连接AF，CF，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，且D是AA₁的中点，
∴AF∥B₁D，A₁C₁∥AC，∴∠CAF为异面直线A₁C₁与B₁D所成的角或其补角．
在Rt△ABF中，BF⊥AB，AB=1，BF=1，
∴AF=

AB2+BF2

=

2

，同理CF=

2

，
在△ABC中，∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=

2

，
在△ACF中，∵AC=AF=CF，∴∠CAF=60°．
∴异面直线A₁C₁与B₁D所成的角为60°．

（Ⅲ）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB₁=B，∴BC⊥平面ABB₁D．
如图，连接BD，
在△BB₁D中，∵BD=B1D=

2

， BB1=2，
∴BD²+B₁D²=BB₁²，即BD⊥B₁D，
∵BD是CD在平面ABB₁D内的射影，
∴CD⊥B₁D，∴∠CDB为二面角C-B₁D-B的平面角．
在△BCD中，∠CBD=90°，BC=1，BD=

2

，
∴tan∠CDB=

BC

BD

=

2

2

，∴二面角C-B₁D-B的大小为arctan

2

2

．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．
求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．